» Магические квадраты
|
В данной части работы мы в основном следуем книге [2]. Если некоторое количество порядковых чисел, например, все целые числа от 1 до 16 или от 1 до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одинаковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим, или волшебным.
Количеством клеток (чисел) в каждом, ряду магического квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду 4 клетки и т. д.
Идея составления магического квадрата, возникшая около семи тысячелетий назад, постепенно увлекла как любителей математических развлечений, так и специалистов-математиков.
Начались и до сих пор продолжаются поиски теоретических обоснований этого удивительного и красивого явления в мире чисел. За сотни лет придуманы сотни остроумных способов и правил составления различных магических квадратов.
Познакомиться с некоторыми наиболее интересными из них.
Будем действовать подобно радиолюбителям: Еще не зная во всех подробностях теории радиоприема, они уже умеют собирать радиоприемник из готовых деталей по готовым схемам. Наши детали — числа, а панель (доска, на которой монтируются детали) — квадрат с клетками.
Квадраты нечетного порядка. Требуется, положим, «смонтировать» хотя бы по одному магическому квадрату всевозможных нечетных порядков. Это можно сделать по единой схеме, а схем придумано много. Вот и воспользуемся одной из них для составления, например, квадрата пятого порядка, после чего вы эту схему без труда можно применить к квадратам третьего, седьмого и других нечетных порядков.
Строим квадрат ABCD (см. рисунок 3.1) с 25 клетками и временно дополняем его до симметричной ступенчатой фигуры (изображенной на том же рисунке) со ступеньками в одну клетку. В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху — вниз — направо 25 целых чисел от 1 до 25. А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере — на пять. Так, в соответствии с этим правилом, число 6 надо поместить в клетку под числом 18, а число 24 — выше числа 12; далее, 1 — ниже 13, а 25 — выше 13; 16 — правее 8, а 4 — левее 12 и т. д.
следующей странице.
Нетрудно убедиться в том, что в получившемся квадрате выполняются основные свойства магического квадрата, то есть сумма чисел вдоль каждой диагонали, вдоль каждой горизонтали и вертикали одна и та же и равна 65. Это число называется константой квадрата пятого порядка.
Но у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное свойство: все пары чисел, расположенные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
6 |
|
2 |
|
B |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
7 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
|
12 |
|
8 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
17 |
|
13 |
|
9 |
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
22 |
|
14 |
|
18 |
|
10 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
23 |
|
19 |
|
15 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
24 |
|
20 |
|
C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
Рисунок 3.2 Рисунок 3..3 |
симметрично относительно центральной клетки, дают одинаковые суммы. Например,
1+25 = 19+7 = 18+8 = 23 + 3 = 6+20= 2+24 = 4+22
и т. д.
Магические квадраты, обладающие таким свойством, называются симметрическими.
Квадраты порядка, кратного четырем (n=4k). Для составления какого-либо магического квадрата, порядка
n = 4, 8, 12, ..., 4k
удобна, например, такая простая схема:
- разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке),
- выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со
стороной n/2 (например, как это сделано ниже на рисунках 3.4 и 3.6; - в пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра
1 |
2 |
3 |
4 |
|
16 |
2 |
3 |
13 |
5 |
6 |
7 |
8 |
5 |
11 |
10 |
8 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
9 |
7 |
6 |
12 |
|
13 |
14 |
15 |
16 |
4 |
14 |
15 |
1 |
|
рисунок 3.4 |
рисунок 3.5 |
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
64 |
63 |
3 |
4 |
5 |
6 |
58 |
57 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
56 |
55 |
11 |
12 |
13 |
14 |
50 |
49 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
17 |
18 |
46 |
45 |
44 |
43 |
23 |
24 |
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
25 |
26 |
38 |
37 |
36 |
35 |
31 |
32 |
|
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
33 |
34 |
30 |
29 |
28 |
27 |
39 |
40 |
|
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
|
41 |
42 |
22 |
21 |
20 |
19 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
16 |
15 |
51 |
52 |
53 |
54 |
10 |
9 |
|
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
|
8 |
7 |
59 |
60 |
61 |
62 |
2 |
1 |
рисунок 3.6 |
|
Рисунок 3.7 |
|
|||||||||||||
заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10 (рисунок 3.5), а в натуральном расположении чисел квадрата восьмого порядка надо поменять местами 1 и 64, 10 и 55, 2 и 63, 9 и 56, 19 и 46, 28 и 37, 20 и 45, 27 и 38, 21 и 44 и т. д. (рисунок 3.7).
Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.
